A Closed Character Formula for Symmetric Powers of Irreducible Representations

We prove a closed character formula for the symmetric powers SNV (λ ) of a fixed irreducible representation V (λ ) of a complex semi-simple Lie algebra g by means of partial fraction decomposition. The formula involves rational functions in rank of g many variables which are easier to determine than the weight multiplicities of SNV (λ ) themselves. We compute those rational functions in some interesting cases. Furthermore, we introduce a residuetype generating function for the weight multiplicities of SNV (λ ) and explain the connections between our character formula, vector partition functions and iterated partial fraction decomposition. Résumé. Nous établissons une formule fermée pour le caractère de la puissance symétrique SNV (λ ) d’une représentation irréductible V (λ ) d’une algèbre de Lie semi-simple complexe g, en utilisant des décompositions en fractions partielles. Cette formule exprime ce caractère en termes de fractions rationnelles en r variables, où r est le rang de g. Ces fractions sont plus faciles à déterminer que les multiplicités de la décomposition de SNV (λ ) elles-mêmes. Nous calculons ces fonctions rationnelles dans quelques cas intéressants. Nous introduisons par ailleurs une fonction génératrice de type résidu pour les multiplicités de SNV (λ ) et relions notre formule aux fonctions de partitions vectorielles et aux décompositions itérées en fractions partielles.